Problema
Si voglia studiare un sistema dinamico LTI TC di ordine n con equazione di stato x'(t)=Ax(t). Prendiamo il caso che la matrice A abbia n autovalori λ distinti e che sia diagonale. Per la formula di Lagrange si ha che xl(t)=(exp(At))*x(0) con exp(At) data da una matrice tutta nulla con exp(λt) sulla diagonale. Ogni funzione del tipo m(t)=exp(λt) è detta modo naturale.
Lo studio dei modi naturali sulla base degli autovalori va sotto il nome di analisi modale del sistema. L'analisi modale studia il comportamento per t che tende a infinito.
Modi naturali
Il modo naturale m(t) può essere definito:
-convergente, se il limite del valore assoluto di m(t) per t che tende a infinito è uguale a zero.
-limitato, se il limite del valore assoluto di m(t) per t che tende a infinito è uguale a una costante positiva.
-divergente, se il limite del valore assoluto di m(t) per t che tende a infinito è uguale a infinito.
Ottenere m(t) è semplice solo nel caso in cui A sia diagonale. Si dimostra comunque che exp(At)=T*(exp(Ãt))*T^(-1), con à matrice in forma di Jordan (diagonale o diagonale a blocchi).
Il modo naturale exp(λt), nel caso di autovalori reale di molteplicità unitaria, risulta:
-esponenzialmente convergente, se R*exp(λ) < 0, con R numero reale
-limitato (costante), se R*exp(λ) = 0, con R numero reale
-esponenzialmente divergente, se R*exp(λ) > 0, con R numero reale
Il modo naturale della forma (exp(σt))*cos(ωt), (exp(σt))*sin(ωt), associati ad una coppia di autovalori complessi coniugati:
-esponenzialmente convergente, se R*exp(λ)=σ<0
-limitato (oscillante), R*exp(λ)=σ=0
-esponenzialmente divergente, R*exp(λ)=σ>0
Il modo naturale della forma (t^(μ'-1))*(exp(λt)),.. associati ad un autovalore λ reale con molteplicità μ:
-esponenzialmente convergenti, se R*exp(λ)<0
-polinomialmente divergenti, se R*exp(λ)=0
-esponenzialmente divergenti, se R*exp(λ)>0
Il modo naturale μ' associata ad una coppia di autovalori complessi con molteplicità μ':
-esponenzialmente convergenti, se R*exp(λ)=σ<0
-polinomialmente divergenti, se R*exp(λ)=σ=0
-esponenzialmente divergenti, se R*exp(λ)=σ>0
Costante di tempo
Per un modo convergente associato ad un autovalore è possibile stabilire la costante di tempo, definita come τ=abs(1/Rexp(λ)). La costante di tempo rappresenta il tempo intercorrente tra l'incrocio degli assi e l'intersezione con l'asse dei tempi della retta tangente al grafico passante per il punto di ascissa nulla
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