Trasformata z
La trasformata unilatera z della sequenza di valori reali f(k):N->R è la gunzione della variabile complessa z definita da: F(z) = ∑f(k)*z^(-k) con z∈C.
Le proprietà fondamentali della trasformata z sono:
-linearità, Z(af(k)+bg(k))=aF(z)+bG(z)
-ritardo nel tempo, Z(f(k-h))=(z^(-h))*F(z)
-anticipo nel tempo, Z(f(k+h))=(z^h)*(F(z)-∑(z^k)*f(k)), in cui la sommatoria va per k=0 a k=h-1
-prodotto di convoluzione, f(k) convoluto g(k) = F(z)*G(z)
I principali teoremi, che valgono per la trasformata z sono:
-Del valore finale, se f(k) ammette trasformata zeta, nel caso in cui (z-1)F(z) non ammetta radici del denominatore con modulo maggiore o uguale ad 1, allora il lim(z->infinito)f(k)=lim(z-1)(z-1)F(z).
-del valore iniziale, se f(k) ammette trasformata zeta, allora lim(z->0)f(k)=lim(z->infinito)F(z).
Calcolo del movimento
Il comportamento di un sistema LTI TD è descritto dalle equazioni ingresso-stato-uscita x(k+1)=Ax(k)+Bu(k), y(k)=Cx(k)+Du(k). Utilizzando le equazioni di stato si vuole calcolare x(k) del movimento di stato a partire da uno stato iniziale x0, a fronte di un ingresso u(k).
L'espressione x(k) può essere ricavata iterativamente, mediante la formula di Lagrange. x(k)=(A^(k))*x0+∑(A^(k-i-1))*Bu(i)=xl(k)+xf(k), in cui la ∑ va da i=0 a i=k-1. xl(k) è detto movimento libero dello stato, mentre xf(k) è detto movimento forzato. Per calcolare in modo esplicito x(k) è utile utilizzare la trasformata z.
Per calcolare invece il movimento dell'uscita y(k)=C(A^k)*x0+C∑A^(k-i-1)*Bu(i)+Du(k)=yl(k)+yf(k). Anche in questo caso è utile ricorrere alla trasformata z.
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