Generalità
La proprietà di stabilità interna fa riferimento agli effetti sul movimento di un sistema, provati dalle perturbazioni dello stato iniziale, assumendo costanti e noti gli ingressi e i parametri. Un sistema è detto stabile se la sua evoluzione è poco sensibile a piccole perturbazioni sull'ingresso; in caso contrario il sistema è detto instabile.
Stabilità di sistemi TC
Nel caso di sistemi dinamici a tempo continuo, se consideriamo il movimento nominale xn(t) (ottenuto applicando un ingresso nominale in uno stato iniziale nominale) e il movimento perturbato xp(t) (ottenuto applicando l'ingresso nominale in uno stato perturbato), la differenza tra i diversi movimenti costituisce la perturbazione del sistema (δx(t)=xp(t)-xn(t)). Con la definizione di δx(t) possiamo definire il movimento nominale:
-stabile, se la perturbazione δx(t) è sempre limitata nel tempo
-instabile, se δx(t) non resta limitata nel tempo
-asitonticamente stabile, se δx(t) rimane limitata e tende ad annullarsi per t->infinito
-semplicemente stabile, se δx(t) è limitata ma non tende ad annullarsi asitonticamente.
Stabilità di sistemi TD
Nel caso di sistemi dinamici a tempo discreto, se consideriamo il movimento nominale xn(k) (ottenuto applicando un ingresso nominale in uno stato iniziale nominale) e il movimento perturbato xp(k) (ottenuto applicando l'ingresso nominale in uno stato perturbato), la differenza tra i diversi movimenti costituisce la perturbazione del sistema (δx(k)=xp(k)-xn(k)). Con la definizione di δx(t) possiamo definire il movimento nominale:
-stabile, se per ogni ε>0 esiste un γ >0 tale che per ogni istante x0 risulta: ||δx(k)||=||xn(k)-xn(k)||<=ε
-instabile, se non soddisfa la condizione precedente
-asintoticamente stabile se per ogni ε>0 esiste un γ>0 tale che per ogni istante x0 risulta: ||δx(k)||=||xn(k)-xn(k)||<= γ, lim||δx(k)||=lim||xn(k)-xn(k)||=0 (i limiti sono per k->infinito)
Stabilità dell'equilibrio
Si parla di stabilità all'equilibrio, nel caso in cui il movimento nominale preso in considerazione sia uno stato di equilibrio di un ingresso di equilibrio. Ad ogni stato di equilibrio è associata una regione di attrazione, nella quale gli stati iniziali danno origine a movimenti perturbati convergenti asintoticamente allo stato di equilibrio.
Stabilità dell'equilibrio di sistemi non lineari
Nel caso di sistemi NL a tempo continuo per studiare la stabilità è necessario utilizzare il metodo di linearizzazione (Lyapunov). Questo metodo preve che la funzione f(x+δx(t), u) venga sviluppata in serie di Taylor in un intorno: δx(t)+h(δx(t)), in cui h(δx(t)) contiene potenze di grado superiore al primo. Nel caso in cui il termine h(δx(t)) sia trascurabile, la stabilità è studiabile, mediante l'analisi di stabilità del sistema LTI. In generale un sistema NL TC è:
-asintoticamente stabile, se per ogni i, Re(λi(A))<0, con A=∂f(x,u)/∂x
-instabile, se esiste un i, Re(λi(A))>0, con A=∂f(x,u)/∂x
-non definibile, se esiste un k per cui Re(λk(A))=0, per ogni i Re(λi(A))<=0 con A=∂f(x,u)/∂x
Nel caso di sistemi NL a tempo discreto per studiare la stabilità è necessario linearizzare, approssimando mediante lo sviluppo in serie di Taylor. Le condizioni di stabilità:
-asintoticamente stabile, se per ogni i |λi(A)|<1, con A=∂f(x,u)/∂x
-instabile, se esiste un i, |λi(A)|>1, con A=∂f(x,u)/∂x
-non definibile, se per ogni i |λi(A)|<=1, esiste un k |λk(A)|=1, con A=∂f(x,u)/∂x
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